Bonjour,
Déjà pas de htmlspecialchar sur les données entrée en BDD, c'est uniquement pour l'affichage.
Ensuite, comment tu sais que l'envoi est réussi vu que tu ne tests même pas ce que renvoie la fonction mail ? Ce n'est pas parce que tu as le message de succès, que cela est vrai
Enfin as-tu vérifier les logs de ton serveur ? Si local, as-tu rensigné le smtp de ton FAI ?
Tu peux aussi simplifier ton affectation par
$nom = $_SESSION...... = $_POST['nom'];