Bonsoir,
Ta page reste blanche car tu ne fais pas de rediréction après l'envois de ton mail !
Il suffit de rajouter ceci après ta fonction mail();
Et pour l'envoi de ton mail, c'est normal, à moins d'avoir configurer un serveur mail distant dans ton php.ini, ton mail ne partira jamais en local (étant donner que tu ne possède pas de serveur mail sur ton pc)
Je te conseil de prendre un hébergement et de tester ton script sur celui-ci, ton mail devrait partir sans problème !
ou alors de configurer un serveur distant (exemple: utiliser les serveurs smtp de gmail)