Bonjour.
Pour commencer, la vérification du formulaire n'en ai même pas une, car ceci n'a aucun sens:
Quel est l'intérêt de définir des variables avec des valeurs, si c'est pour tout de suite après les redéfinir avec des variables qui soit peuvent ne pas exister, soit peuvent être vide ?
Dans le contexte de ton code, tu pars du principe que tout est bon, vu son contenu.
Sinon pour ce qui concerne le sujet, tu a bien créé une fonction pour faire la vérification du captcha, mais tu ne l'utilises à aucun moment dans le code que tu présentes.