Chatbox avec Ajax : poblème

Bonjour,

je suis en train de créer une chatbox pour un travail de fin d'étude et je rencontre quelques problèms avec celle-ci. Je ne maîtrise pas beaucoup Ajax.
Le module est terminé à 90%, disons. Le soucis vient de l'insertion des données dans la DB de manière asynchrone. En gros :

• Afficher le chat via Ajax : Ok.
• Refresh le chat via Ajax : Ok.
• Poster les nouveaux messages asynchrones : pas Ok.

Ce que je fais

Voici mon formulaire HTML

<form id="chatForm" method="post" action="action/ajax/Tavern2.php"
                      class="container form-group">
<input id="chatId" type="hidden" value="{{ sessionUser.id }}">
<textarea id="chatMessage" name="chatMessage" cols="30" rows="10"
                              class="form-control col-lg-12"
                              placeholder="Message"></textarea>
<button type="submit" id="chatSubmit" class="btn mt-2" name="chatSubmit">Envoyer</button>
</form>

Voici mon code PHP pour l'insertion dans la DB

Database::getQuery( '
INSERT INTO ln_chatbox (idUser, datePub, message)
VALUES (?, NOW(), ?)', [ $_POST['chatId']->id, $_POST['chatMessage'] ] );

header( 'location:/tavern' );
exit;

Voici mon code Ajax en relation avec l'insertion dans la DB

$('#chatSubmit').on('submit', function (e) {
     // Bloque l'event de base du btn 
     e.preventDefault();

    // Données récupérées du formulaires
    let chatId = encodeURIComponent($('#chatId').val());
    let chatMessage = encodeURIComponent($('#chatMessage').val());

    if (chatId !== '' && chatMessage !== '') {
        $.ajax({
            url: '/action/ajax/Tavern2.php',
            type: 'POST',
            data: {chatId: chatId, chatMessage: chatMessage},
            success: function () {
                select(); // Si tout OK, récupérer la fonction d'affichage de la chatbox
            },
            error: function (xhr, ajaxOptions, thrownError) {
                console.log('[ERROR]' + xhr.status + ' ' + thrownError);
            }
        });
    }
});

Ce que je veux

Faire en sorte que les messages postés soient asynchrones.

Ce que j'obtiens

Alors ce n'est pas vraiment une erreur, mais quoi que je fasse, le message est soit posté de manière synchrone sans prendre compte Ajax soit le e.preventDefault() bloque complètement le code et rien ne se passe au click du submit.
Une idée ? Merci !